Groepentheorie 2012  (WISB221)

De docent: André Henriques
De assistenten: Janne Kool (j.kool2atuunl), Boris Osorno Torres (bosornotatgmailcom), Roy Wang (K.J.L.Wangatuunl),
Julian Lyczak (J.T.Lyczak1atuunl), Oscar van der Heide (O.vanderHeideatuunl), Kirsten Wang (K.J.L.Wangatuunl)

Het boek: We gebruiken het boek Groups and symmetry van M. A. Armstrong.
Cijferregeling: De inleveropgaves tellen voor 15% van de eindcijfer. Het eerste deeltentamen telt voor 40%, en het eindtentamen telt voor 45%.

Deeltentamen: Het deeltentamen (5 Nov), die in de Jaarbeurs wordt gehouden, zal NIET in hal 9 plaatsvinden maar in HAL 10.
Oefententamen 1.  Resultaten van het eerste deeltentamen (24 punten = cijfer is 10; 12 punten = cijfer is 5.5)
Oefententamen 2. Resultaten van het tweede deeltentamen en eindcijfer.


De behandelde stof:

Werkcollege 18 Dec: 27.1, 27.2, 27.3, 27.4, 27.5, 27.6, 27.7, 27.8, 27.9, 27.10.
Hoorcollege 17 Dec: Hoofdstuk 27.
Werkcollege 11 Dec: 23.1, 23.2, 23.3, 23.5, 23.6, 23.9, 23.12.
Hoorcollege 10 Dec: Automorfismen. Automorfisme groepen van ℤn, van ℤ2×ℤ2, van Q, van ℤpn. Stelling 23.2. Semidirecte producten. Voorbeelden: Dihedrale groep = ℤn ×| ℤ2. Isom+(ℝ2) = ℝ2 ×| SO(2). notes
Inleveropgave (inleveren op 18 Dec): Let p be a prime number, and let A be the n-th power of the cyclic group Zp. Let G=Aut(A) be the automorphism group of A -- this group is often denoted GLn(p) (automorphisms are defined in chapter 23). Describe G in terms of matrices with coeficients in Zp. Use the orbit stabilizer theorem and the action of G on A to determine the order of G. What is the order of a p-Sylow in G? Describe a p-Sylow subgroup of G.
Werkcollege 4 Dec: 20.3, 20.6(p not congruent to 1 mod q AND q not congruent to 1 mod p), 20.9, 20.10, 20.11, 20.13, 20.14.
Hoorcollege 3 Dec: De Sylow stellingen. Voorbeelden van p-Sylow deelgroepen. De 2-Sylow deelgroepen van Sn. notes
Inleveropgave (inleveren op 11 Dec): Hoeveel manieren zijn er om de ribben van de Petersen graaf zwart wit te kleuren, op zymmetriëen na (de symmetrie groep is S5).
Werkcollege 27 Nov: 17.11, 17.12, 17.13, 18.1, 18.2, 18.3, 18.5, 20.2, 20.5.
Hoorcollege 26 Nov: Orbit stabilizer theorem: met bewijs. Gevolg: |G(x)|=|G|/|H|. Classificatie van groepen van orde p2. Stelling: |X/G|=1/|G| · Σ |Cg||Xg|. Voorbeeld: hoeveel manieren zijn er om de zijvlakken van een kubus in zwart/wit te kleuren (blz 100 van het boek). Eerste Sylow stelling. notes
Inleveropgave (inleveren op 4 Dec): Show that if a group G acts on a set X, then there is a natural action of Gn on the disjoint union of n copies of that set X∪...∪X. Describe that action by means of a formula. There is also a natural action of the symmetric group Sn on that same disjoint union X∪...∪X by permuting the various copies of X. Using those two actions, we obtain a certain collection of permutations of X∪...∪X that we can use to generate a group (this construction goes by the name "wreath product"). Assume now that n = 2 and that the group G is ℤ2, acting transitively on a set X with two elements. Show that, in that case, the group that we get at the end of the above procedure is isomorphic to the dihedral group D4.
Werkcollege 20 Nov: 17.1, 17.2, 17.3, 17.4, 17.5, 17.6(c), 17.9(c), 17.14.
Hoorcollege 19 Nov:Actie ven een groep op een verzameling. Voorbeelen van acties. Baan (=orbit). Transifief. Stabilizator. Vaste punten. Lemma op blz 94. Lemma op blz 99. notes
Inleveropgave (inleveren op 27 Nov): Opgave 16.9 uit het boek (S3={a+bi+cj+dk : a2+b2+c2+d2=1}, is een groep met quaterionenvermenigvuldiging).
Hint: bekijk de homomorfisme q ↦ ((ai+bj+ck) ↦ q(ai+bj+ck)q-1).
Werkcollege 13 Nov: 15.14, 15.16, 16.5, 16.6, 16.7, 16.8, 16.10 (de braid group wordt op blz 65 uitgelegd), 16.11.
Hoorcollege 12 Nov: De commutator deelgroep, de abelianisatie. De drie isomorfie stellingen: alles tot aan het einde van hoofdstuk 16. notes

Werkcollege 30 Oct: 15.6, 15.8, 15.11, 15.12, 15.13, 15.15, 16.3, 16.4.
Hoorcollege 29 Oct: Meer over normale deelgroepen. Het bewijs van exercise 15.10 (op blz 84). H normaal in G iff linker nevenclassen = rechter nevenclassen. Quotiengroepen: definite en voorbeelden. Index van een deelgroep.

Werkcollege 23 Oct: 13.4, 13.6, 14.7 (first part), 14.9, 14.12 (second part), 15.1, 15.2, 15.3, 15.4.
Hoorcollege 22 Oct: De classificatie van groepen van orde ≤ 8. Centrum van een groep. Normaal deelgroep (definitie en voorbeelden).
Inleveropgave (inleveren op 30 Oct): Maak een classificatie van de conjugatie classen in de groepen O3 en SO3.
Werkcollege 16 Oct: 11.1, 11.2, 11.3, 11.6(!wat ik ℤn× noteer wordt Rn in het boek genoemt), 13.2, 14.1, 14.2, 14.3, 14.4, 14.5.
Hoorcollege 15 Oct: Stelling van Lagrange. De twee gevolgen op blz 59 van het boek. Klein herhaal over ℤn×: k inverteerbaar mod n iff ggd(k,n)=1. Stelling van Euler; kleine Stelling van Fermat. Left cosets; right cosets; conjugacy classes. Conjugacy classes in the group Isom+(C). Conjugacy classes in de symmetrische groep Sn: elmenten zijn geconjugeert iff zij de zelfde cykelstruktuur hebben. Uiteindelijk: stelling van Cauchy.
Inleveropgave (inleveren op 23 Oct): Laat zien dat Sn en An × ℤ2 niet isomorf zijn voor n>2.
Werkcollege 9 Oct: 10.1, 10.2, 10.3, 10.7, 10.8, 10.11, 10.12, 10.13.
Hoorcollege 8 Oct: Producten. Wanneer zijn ℤn × ℤm en ℤmn isomorf? Wanneer zijn SOn × ℤ2 en On isomorf? Stelling 10.2. De Euler φ functie, en de definite van de groep ℤn× van eenheden van ℤn.
Inleveropgave (inleveren op 16 Oct): Laat zien dat er een injectief homomorfisme φ: A5 → A6 is zo dat het beeld van φ geen element van {1,2,3,4,5,6} vast laat.
Hint: gebruik het isomorfisme tussen A5 en Isom+(D).
Werkcollege 2 Oct: 8.6, 8.11, (8.5?), 9.1, 9.2, 9.3, 9.10, 9.11, 9.12, 9.13.
Hoorcollege 1 Oct: Hoofdstukken 8 en 9: Plato's solids. Cayley's theorem. Matrix groups. De definitie van en homomorfisme. Lemma: het beeld van een homomorfisme is een deelgroep.
Inleveropgave (inleveren op 9 Oct): Laat zien dat de 3-cykels (1,2,3), (3,4,5), (5,6,7),... en (2n-1,2n,2n+1) de alterneerende groep A2n+1 voortbrengen.
Werkcollege 25 Sept: 6.8, 6.9, 7.2, 7.4, 7.5, 7.9, 8.1, 8.3.
Hoorcollege 24 Sept: Bewijs dat het teken van een permutatie goed gedefineerd is. De alterneerende groep An. Voortbrengers voor de alterneerende groep. Isomorfismen. Bewijs van de twee lemmas op blz 35 (compatibiliteit van homomorfismen met identiteiten en met inversen).
Inleveropgave (inleveren op 2 Oct): Bewijs dat iedere isometrie van het vlak die de oorsprong vast laat een lineaire afbeelding is.
Hint: Door samenstellen met bekende lineaire afbeeldingen terugvoeren op geval dat hoekpunten van een driehoek vast zijn. Dan constateren dat het de identiteit is.
Werkcollege 18 Sept: 5.11, 5.12, 6.1, 6.3, 6.4.
Hoorcollege 17 Sept: Isometriegroepen. Systemen voortbrengers voor Sn. Teken van een permutatie (kruisingen van touwtjes).
Inleveropgave (inleveren op 25 Sept): Prove that every group of order 4 contains an element of order 2. Prove that, in a group of order 4, every element has order 1, 2, or 4. Prove that every group of order 4 is abelian. Draw a polygon whose symmetry group has order 4. Let G be a group of order 4 that is not cyclic; write down the multiplication table of G.
Werkcollege 11 Sept: 1.2, 1.4, 1.8, 2.3, 2.7, 3.1, 3.3, 3.10, 4.5, 4.6, 4.8, 5.5, 5.10
Hoorcollege 10 Sept: Page 1–22 of the book: Symmetry group. Group. Neutral element. Inverse. Examples of non-groups. Matrix group: GL(n,R). Abelian group. Uniqueness of neutral element. Uniqueness of inverses. (xy)-1 = y-1x-1. Multiplication table. Dihedral group. The relation sr=r-1s in the dihedral group. Order of a group. Order of an element. Generators. Subgroup. Word. Reduced word.