| Week | Behandelde stof | Werkcollege opgaven. (Inleveropgave: inleveren op Donderdag van week n+1) |
| 37 | De partiele en de totale afgeleiden. Stof t/m blz. 9 van het dictaat. | 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, Inleveropgave: Voor welke waarden van α is de functie f (x) := sin(1/x2)xα, f (0) := 0 continu? differentieerbaar? continu differentieerbaar? (inleverdatum Sept 23.) |
| 38 | Richtingsafgeleiden. De kettingregel voor functies ℝn→ℝm. Stelling 1.15: Als alle partiele afgeleiden bestaan en zijn continu, dan bestaat de totale afgeleide. | 1.7, 1.8, 1.11, Inleveropgave: 1.18 (inleverdatum Sept 30.), 1.21, • Geef een vorbeeld van een functie f : ℝ2→ℝ zo dat ∂f/∂x alleen in het punt (0,0) gedefineert is, en ∂f/∂y overal gedefineert is behalve in het punt (0,0). |
| 39 | Lemma 2.10 van het dictaat. Verwisseling van limieten. | 1.23, 1.27, 1.28, Inleveropgave: 1.29 (inleverdatum Oct 7.), 2.1,
• Geef een beweis van de volgende stelling: Als
f : ℝn→ℝm
en functie is zodat voor ieder continu pad γ:[0,1]→ℝn
de samenstelling f o γ continu is, dan is f ook continu. |
| 40 | Verwisseling van differentiatievolgorde: Stelling 2.4 van het dictaat. Uniforme continuiteit. |
1.19, 1.20, 2.4, 2.5, Inleveropgave: Voor welke α ∈ ℝ is de functie xα uniform continu op ℝ >0? (met ε-δ-bewijs!)
• Zij f (x, y) := |x| x y / √(x2+y2).
Laat zien dat beide ∂2f /∂x ∂y (0,0) en ∂2f /∂y ∂x (0,0) bestaan, maar dat ze niet gelijk aan elkaar zijn. |
| 41 | Continuiteit van functies die door integralen gedefiniert zijn. | 2.2 (inleveropgave), 2.6, 2.7, • Geef een voorbeeld van een continue functie f : (ℝ≥0)2\{(0,0)}→ℝ die de eigenschap heeft dat iedere richtingsafgeleide limh→0 f (hx,hy) bestaat, maar zo dat the functie g(t) := limh→0 f (h,ht) niet continu is. • Geef een voorbeeld van een functie f ∈ C1(ℝ) die uniform continu is, en waarvan de afgeleide onbegrensd is. • Bewijs dat een functie f : ℝ→ℝ waarvan de afgeleide begrensd is uniform continu moet zijn. |
| 42 | Opmerking 2.8 van het dictaat. Continuiteit van de Gamma en Beta functies. Differentiatie onder het Integraalteken. Nog een keer Lemma 2.10. | 2.8, 2.9, 2.10, 2.12, 2.13. (geen inleveropgave deze week) |
| 43 | Verwisseling van integratiatievolgorde. Uniforme en puntgewijze convergentie van rijen van functies (hoofdstuk 5). De uniforme limiet van continue functies is continu. | 3.2, Inleveropgave: Bewijs de uitspraak van Voorbeeld 2.15 (je mag alleen Stelling 2.11 gebruiken. De rest moet je volledig bewijzen.) inleverdatum: Nov 4, • Geef een tegenvoorbeeld voor Stelling 2.11. De functie f is continu op I×[a,b], maar je weet alleen dat D1f continu is op I×(a,b), in plaats van I×[a,b]. • Wat zijn de minimale eizen op de functies f, g en h waarmee je kunt beslissen dat de functie F(x) := ∫f(x)g(x) h(x,t) dt differentieerbaar is? Wat is dan de afgeleide van F? (met ε-δ-bewijs!) |
| 44 | Uniforme Cauchy rijen. Riemann integreerbarheid van een uniforme limiet. Limieten en integralen omwisselen. | Hier is een oefententamen. Erratum: In opgave 1, zou de functie f(x,y,z) := |x|y|sin(1/x)|z moeten zijn. |
| 45 | Voor de studenten die botsingen met andere tentamens hebben, is er ook een mogelijkheid om het tentamen van 12-15 te maken in zaal WIS 503. |
|
| 46 | Rijen en reeksen van functies. Uniforme absolute convergens voor een reeks van functies. Machtreeksen. | Inleveropgave: 5.1 (inleverdatum: Nov 25), 5.2, 5.3. |
| 47 | De definitie van limsup. De convergentiestraal van een machtreeks. | 5.4, Inleveropgave: (inleveren bij Dec 2. Deze inleveropgave telt mee twee keer zoveel als de andere inleveropgaves.) • Bewijs dat de reeks Σk=1∞(-1)k+11/k (x-1)k puntgewijs naar log(x) convergeert voor alle x∈(0,2]. • Bewijs dat voor iedere 1>ε>0, de convergentie van Σk=1∞(-1)k+11/k (x-1)k uniform absoluut is op [ε,2-ε]. • Laat zien dat de convergentie van de bovenstaande machtreeks absoluut maar niet uniform is op (0,2). • Zij ε>0. Laat zien dat de convergentie van de bovenstaande machtreeks uniform maar niet absoluut is op [ε,2]. • Zij ε>0. Op het gebied [ε,2) is de convergentie van Σk=1∞(-1)k+11/k (x-1)k uniform, absoluut, maar niet uniform absoluut. Geef een bewijs, en leg uit hoe dat kan. |
| 48 | De ratio test voor de berekening van de convergentiestraal. Fourier reeksen.
De ruimte S1:=ℝ/x~x+2π.
De definitie van C0(S1), van C1(S1)... Ik ben vergeten Definitie 5.21 uitteleggen: • "Analytisch" : functie die locaal door en machtreeksen is gegeven. • "Geheel analytisch" : functie die een machtreeksontwikkeling heeft met convergentiestraal ρ=∞. |
5.6, • Laat zien dat voor complexe getallen z en w, er geldt |z||w|=|zw|. Bereken de sup-norm van de complexe functie azn op de open schijf Br met straat r. • Voor de volgende twee opgaven zijn an en bn rijen van positieve reele getallen. Bewijs dat, als limn→∞an bestaat, dan geldt limsupn→∞(anbn) =limn→∞an limsupn→∞bn. • Laat zien dat limsupn→∞(anbn) =limsupn→∞an limsupn→∞bn in het algemeen niet juist is. Inleveropgave: 5.7, 5.14. |
| 49 | De definitie van de ruimte van snel afnemendede rijen. De definitie van ℓ1(ℤ), ℓ2(ℤ), ℓ∞(ℤ). De ruimtes L1(S1), L2(S1) (zonder volledige definities). Voor f een continue functie, dan hebben we: F(f)=0 impliceert f=0. | 6.1, • Stel c-n is de complex geconjugeerde van cn. Laat zien dat Σn=-∞∞cneinx reëlwaardig is. Laat zien hoe je Σn=-∞∞cneinx als a0 + Σn=1∞ancos(nx) + Σn=1∞bnsin(nx) kunt herschrijven, met an en bn in ℝ. Inleveropgave: 6.2, 6.3. |
| 50 | Ik was ziek. Zelf studie: Fourier reesken een differentiatie (Lemma 6.14 van het dictaat). De Fourier transformatie leevert een afbeelding van C∞(S1) naar de ruimte S(ℝ) van snel afnemendede rijen (dat is een makkelijk gevolg van Lemma 6.14). | • Zij n ∈ ℕ een positieve getal. Bereken de Fourier reeksen van cos(x)n en van sin(x)n. • Bereken de Fourier reeks van de 2π-periodieke uitbreiding van f : [0,2π)→ ℂ, f(x)=x. • Bereken de Fourier reeks van de 2π-periodieke uitbreiding van f : [0,2π)→ ℂ, f(x)=x2. Is F(f) in ℓ1(ℤ)? Is F(f) in ℓ2(ℤ)? • Bereken de Fourier reeks van de 2π-periodieke uitbreiding van g : [-π,π]→ ℂ, g(x)=x2. Is F(g) in ℓ1(ℤ)? • Laat zien dat ℓ1(ℤ) een deelverzameling is van ℓ2(ℤ). • Inleveropgave: 6.4 • 6.5. |
| 51 | Stelling 6.11 van het dictaat. De afbeelding F : C∞(S1)→ S(ℝ) is een bijectie. Partiele Fourier reeksen en de Dirichlet kern. | • Lees Stelling 6.21 van het dictaat. Bekijk de 2π-periodieke uitbreiding f van de functie f1 : [0,2π[ → ℝ, f1 (x) := 1-x2. Zij g(x) := Σn=-∞∞cneinx de Fourier reeks van f. Folgens Stelling 6.21, wat is dan g(0)? • Bekijk de 2π-periodieke uitbreiding f van de functie f1 : [-π/2,3π/2[ → ℝ, f1 (x) := ex. Zij g(x) := Σn=-∞∞cneinx de Fourier reeks van f. Folgens Stelling 6.21, wat is dan g(-π/2)? • 6.7, 6.8, 6.6a) en b). |
